Question

在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点M是BC的中点，点P是线段AM上的动点，将线段PC绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，线段BQ的延长线交AM延长线于点D．
（1）如图1，若α=60°，点P与点M重合，则∠BDA=

 

；
（2）如图2，点P不与点A、点M重合，则∠BDA=

 

．（用含α的式子表示）

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质得∠BMD=90°，结合条件可求得△BMQ是等边三角形，进一步可求得∠BDA；
（2）首先利用已知得出△CPD≌△BPD，进而得出∠PCD+∠PQD=∠PQB+∠PQD=180°，即可求出．

解答：解：（1）∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∵∠CMQ=2α=120°，
∴∠BMP=60°，
∵BM=MC=MQ，
∴∠MBQ=60°，
∴∠BDA=90°-60°=30°，
故答案为：30°；
（2）如图，连接PB，CD，

∵AC=AB，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
即AD为BC的垂直平分线，
∴BD=CD，BP=PC，PD=PD，
在△BPD与△CPD中，

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△BPD≌△CPD（SSS），
∴∠CDA=∠BDA，∠PBD=∠PCD，
又∵PQ=PC，
∴PQ=PB，∠BDC=2∠1，∠4=∠PBQ=∠PCD，
∴∠PCD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠CPQ+∠BDC=360°-（∠PCD+∠PQD）=180°，
∴∠BDA=180°-∠CPQ=180°-2α，
∴2∠BDA=180°-2α，
∴∠BDA=90°-α．
故答案为：90°-α．

点评：本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠CPQ+∠BDC=360°-（∠PCD+∠PQD）=180°是解题关键．