【题目】如图,抛物线y1=2+bx+c与x轴交于点A、B,交y轴于点C(0,﹣2),且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D,E是抛物线在第3象限内一动点.
(1)求抛物线y1的解析式;
(2)将△OCD沿CD翻折后,O点对称点O′是否在抛物线y1上?请说明理由.
(3)若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上,过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F,①求点F的坐标;②直线CD上是否存在点P,使|PE﹣PF|最大?若存在,试写出|PE﹣PF|最大值.
【答案】(1)抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2;(2)O点对称点O′不在抛物线y1上,理由见解析;(3)①F(2,6﹣2);②直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2.
【解析】试题分析:(1)先由抛物线对称轴方程可求出b=2,再把点C(0,﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2;
(2)过O′点作O′H⊥x轴于H,如图1,由(1)得D(﹣2,0),C(0,2),在Rt△OCD中利用三角函数可计算出∠ODC=60°,再利用折叠的性质得O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,所以∠O′DH=60°,接着在Rt△O′DH中利用三角函数可计算出O′H=,利用勾股定理计算出DH=1,则O′(﹣3,﹣),然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断O′点是否在抛物线y1上;
(3)①利用二次函数图象上点的坐标特征设E(m, m2+2m﹣2)(m<0),过E作EH⊥x轴于H,连结DE,如图2,则DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得∠ODC=60°,再利用轴对称性质得DC平分∠EDE′,DE=DE′,则∠EDE′=120°,所以∠EDH=60°,于是在Rt△EDH中利用三角函数的定义可得﹣m2﹣2m+2=(﹣2﹣m),解得m1=2(舍去),m2=﹣4,则E(﹣4,﹣2),接着计算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′(2,0),然后计算x=2时得函数值即可得到F点坐标;
②由于点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴,则PE=PE′,根据三角形三边的关系得|PE′﹣PF|≤E′F(当点P、E′F共线时,取等号),于是可判断直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2.
试题解析:(1)∵抛物线对称轴x=﹣2,
∴﹣=﹣2,
解得b=2,
∵点C(0,﹣2)在抛物线y1=x2+bx+c上,
∴c=2,
∴抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2;
(2)O点对称点O′不在抛物线y1上.理由如下:
过O′点作O′H⊥x轴于H,如图1,由(1)得D(﹣2,0),C(0,2),
在Rt△OCD中,∵OD=2,OC=,
∴tan∠ODC==,
∴∠ODC=60°,
∵△OCD沿CD翻折后,O点对称点O′,
∴O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,
∴∠O′DH=60°,
在Rt△O′DH中,sin∠O′DH=,
∴O′H=2sin60°=,
∴DH==1,
∴O′(﹣3,﹣),
∵当x=﹣3时,y1=x2+2x﹣2=×9+2×(﹣3)﹣2≠﹣,
∴O′点不在抛物线y1上;
(3)①设E(m, m2+2m﹣2)(m<0),
过E作EH⊥x轴于H,连结DE,如图2,则DH=﹣2﹣m,EH=﹣(m2+2m﹣2)=﹣m2﹣2m+2,
由(2)得∠ODC=60°,
∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上,
∴DC垂直平分EE′,
∴DC平分∠EDE′,DE=DE′,
∴∠EDE′=120°,
∴∠EDH=60°,
在Rt△EDH中,∵tan∠EDH=,
∴EH=HDtan60°,即﹣m2﹣2m+2=(﹣2﹣m),
整理得m2+(4+2)m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,
∴E(﹣4,﹣2),
∴HD=2,EH=2,
∴DE==4,
∴DE′=4,
∴E′(2,0),
而E′F⊥x轴,
∴F点的横坐标为2,
当x=2时,y1=x2+2x﹣2=6﹣2,
∴F(2,6﹣2);
②∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴,
∴PE=PE′,
∴|PE′﹣PF|≤E′F(当点P、E′F共线时,取等号),
∴直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2.
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(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式;
(2)如图1,动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动,过点P作y轴的平行线交线段BC于点M,交抛物线于点N,过点N作NC⊥BC交BC于点K,当△MNK与△MPB的面积比为1:2时,求动点P的运动时间t的值;
(3)如图2,动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动,同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动,且P、Q同时停止,分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序),当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时,请求出此时轴对称图形的面积.
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【题目】已知一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)相交于A和B两点,且A点坐标为(1,3),B点的横坐标为﹣3.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使得y1>y2时,x的取值范围.
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设销售单价定为x元.据此规律,请回答:
(1)商店日销售量减少___________件,每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示);
(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
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