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【题目】如图,抛物线y1=2+bx+c与x轴交于点A、B,交y轴于点C(0,﹣2),且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D,E是抛物线在第3象限内一动点.

(1)求抛物线y1的解析式;

(2)将△OCD沿CD翻折后,O点对称点O′是否在抛物线y1上?请说明理由.

(3)若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上,过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F,①求点F的坐标;②直线CD上是否存在点P,使|PE﹣PF|最大?若存在,试写出|PE﹣PF|最大值.

【答案】(1)抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2;(2)O点对称点O′不在抛物线y1上,理由见解析;(3)①F(2,6﹣2);②直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2

【解析】试题分析:(1)先由抛物线对称轴方程可求出b=2,再把点C0﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2

2)过O′点作O′Hx轴于H,如图1,由(1)得D﹣20),C02),在RtOCD中利用三角函数可计算出ODC=60°,再利用折叠的性质得O′D=OD=2O′DC=ODC=60°,所以O′DH=60°,接着在RtO′DH中利用三角函数可计算出O′H=,利用勾股定理计算出DH=1,则O′﹣3),然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断O′点是否在抛物线y1上;

3利用二次函数图象上点的坐标特征设Emm2+2m﹣2)(m0),过EEHx轴于H,连结DE,如图2,则DH=﹣2﹣mEH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得ODC=60°,再利用轴对称性质得DC平分EDE′DE=DE′,则EDE′=120°,所以EDH=60°,于是在RtEDH中利用三角函数的定义可得m2﹣2m+2=﹣2﹣m,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,则E﹣4﹣2),接着计算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′20),然后计算x=2时得函数值即可得到F点坐标;

由于点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴,则PE=PE′,根据三角形三边的关系得|PE′﹣PF|≤E′F(当点PE′F共线时,取等号),于是可判断直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2

试题解析:(1抛物线对称轴x=﹣2

=﹣2

解得b=2

C0﹣2)在抛物线y1=x2+bx+c上,

c=2

抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2

2O点对称点O′不在抛物线y1上.理由如下:

O′点作O′Hx轴于H,如图1,由(1)得D﹣20),C02),

RtOCD中,OD=2OC=

tanODC==

∴∠ODC=60°

∵△OCD沿CD翻折后,O点对称点O′

∴O′D=OD=2∠O′DC=∠ODC=60°

∴∠O′DH=60°

RtO′DH中,sinO′DH=

O′H=2sin60°=

DH==1

O′﹣3),

x=﹣3时,y1=x2+2x﹣2=×9+2×﹣3﹣2≠﹣

∴O′点不在抛物线y1上;

3Emm2+2m﹣2)(m0),

EEHx轴于H,连结DE,如图2,则DH=﹣2﹣mEH=﹣m2+2m﹣2=﹣m2﹣2m+2

由(2)得∠ODC=60°

E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上,

∴DC垂直平分EE′

∴DC平分∠EDE′DE=DE′

∴∠EDE′=120°

∴∠EDH=60°

RtEDH中,tanEDH=

EH=HDtan60°,即m2﹣2m+2=﹣2﹣m

整理得m2+4+2m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4

E﹣4﹣2),

HD=2EH=2

DE==4

∴DE′=4

∴E′20),

E′F⊥x轴,

∴F点的横坐标为2

x=2时,y1=x2+2x﹣2=6﹣2

F26﹣2);

②∵E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴,

∴PE=PE′

∴|PE′﹣PF|≤E′F(当点PE′F共线时,取等号),

直线CD上存在点P,使|PE﹣PF|最大,最大值为6﹣2

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