Question

1．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=ax²+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式；
（2）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在；
（3）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式．

解答 解：（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{9a+3b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x．

（2）存在．
当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1；
当Q点在抛物线上时，Q（$\frac{3}{2}$t，$\frac{1}{2}$t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2．
故t=1或2．

（3）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos 45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
S=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=$\frac{1}{4}$t²，
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，
则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（AG+OP）AF=$\frac{1}{2}$（t+t-2）×1=t-1．
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$（2+3）×1-$\frac{1}{2}$（4-t）²，
S=-$\frac{1}{2}$t²+4t-$\frac{11}{2}$．

点评 本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，题目中渗透了数形结合及分类讨论的数学思想，是中考的热点考题之一，难度较大．