Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，设BE=x．
（1）求证：△AED∽△CFD；
（2）当x为何值时，△BEF的面积最大？
（3）连接BG，若四边形BGDE是平行四边形，求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根据余角的性质得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到CF=3-$\sqrt{3}$x，根据三角形的面积公式得到函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；
（3）y为最大值时，四边形BGDE是平行四边形，由CG∥BE，得△CFG∽△BFE，得 $\frac{CG}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，求出CG，DG，只要证明BE=DG即可解决问题．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；

（2）∵BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$-x，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3-$\sqrt{3}$x，
∴BF=BC+CF=4-$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x（4-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x，
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时，y有最大值；

（3）∵四边形BGDE是平行四边形，
∴BE=DG，
∵CG∥EB，
∴$\frac{CG}{EB}$=$\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{CG}{x}$=$\frac{3-\sqrt{3}x}{4-\sqrt{3}x}$，
∴CG=$\frac{x（3-\sqrt{3}x）}{4-\sqrt{3}x}$，
∴x=$\sqrt{3}$-$\frac{x（3-\sqrt{3}x）}{4-\sqrt{3}x}$，
整理得2$\sqrt{3}$x²-10x+4$\sqrt{3}$=0，
∴（$\sqrt{3}$x-2）（2x-2$\sqrt{3}$）=0，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$（舍弃）．
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，四边形BEDG是平行四边形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、求函数的解析式、二次函数的最大值、平行四边形的判定、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．