Question

【题目】如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.

(1)求证：BE⊥CF；

(2)若AB=a，CF=b，求BE的长.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）．

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质，证明∠EBC+∠FCB=90°即可解决问题；

（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．构造特殊四边形菱形，利用菱形的性质，结合勾股定理即可解决问题；

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠BGC=90°．
即BE⊥CF．

（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∴四边形ABHE是菱形，

∴AH，BE互相垂直平分；
∵BE⊥CF，

∴AH∥CF，

∴四边形AHCF是平行四边形，

∴AP=；

在Rt△ABP中，由勾股定理，得：

，

∴．