Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．

（1）求⊙O半径；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

Answer 1

【答案】（1）半径为6；（2）见解析

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角，证明AD⊥BC，结合DC＝BD可得AB=AC=12，则半径可求出；
（2）连接OD，先证得∠AED＝90°，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，由平行线的性质，得出OD⊥DE，则结论得证．

解：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

又∵BD＝CD，

∴AB＝AC＝12，

∴⊙O半径为6；

（2）证明：连接OD，

∵∠CDE＝∠DAC，

∴∠CDE+∠ADE＝∠DAC+∠ADE，

∴∠AED＝∠ADB，

由（1）知∠ADB＝90°，

∴∠AED＝90°，

∵DC＝BD，OA＝OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODF＝∠AED＝90°，

∴半径OD⊥EF．

∴DE为⊙O的切线．