Question

17．如果关于x的一元二次方程ax²+2x-5=0的两根中有一个根大于0而小于1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=2²-4a•（-5）≥0，解得a≥-$\frac{1}{5}$且a≠0，设y=ax²+2x-5，利用二次函数的图象可得x=1时，y＞0，即a-3＞0，解得a＞3，于是可确定a的取值范围．

解答 解：根据题意得a≠0且△=2²-4a•（-5）≥0，解得a≥-$\frac{1}{5}$且a≠0，
设y=ax²+2x-5，
当x=0时，y=-5；当x=1时，y=a+2-5=a-3，
而一元二次方程ax²+2x-5=0的两根中有一个根大于0而小于1，
所以x=1时，y＞0，即a-3＞0，解得a＞3，
所以a的取值范围为a＞3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的定义、判别式的意义和函数的思想的运用．