【题目】如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1 , 在l左上方部分的面积为S2 , 记S为S1、S2的差(S≥0).
(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式.
【答案】
(1)
解:过点B过BE⊥x轴,垂足为E.点E(4,0),
∴BE=4,AE=4,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
答:∠OAB=45°.
(2)
解:当点M、N重合到点C(0,4),
把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,
∴直线l的解析式y=x+4;
当点M、N重合到点A(8,0)时,把(8,0)带入y=x+b得b=﹣8,
∴直线l的解析式为y=x﹣8.
(3)
解:四边形OABC的面积为 ×4(4+8)=24,
直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.
当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.
过点N作x轴的垂线NH,
则NH=AH=MH,
设NH=a,
×2a×a=12,
解得:a=2 ,
∴OH=8﹣2 ,
∴点N的坐标为(8﹣2 ,2
),
代入y=x+b得:b=4 ﹣8.
答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是4 ﹣8.
(4)
解:分为三种情况:
①如图在N1、M1时,当4 ﹣8≤b<0时,
OM=﹣b,AM=8﹣(﹣b)=8+b,
设直线AB的解析式是y=cx+d,
把A(8,0),B(4,4)代入得: ,
解得: ,
y=﹣x+8,
解方程组 得:
,
S1= AM×NH=
×2×
×
=
b2+4b+16;
S2=24﹣S1,4
S=|S1﹣S2|= b2+4b+16﹣[24﹣(
b2+4b+16)]=
b2+8b+8,
②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4﹣b,
S2= (4﹣b)2,S1=24﹣S2,
S=S1﹣S2=﹣b2+8b+8,
③﹣8<a<﹣8+4 时,如图,在N3、M3时,S1=
×2×
×
=
b2+4b+16;
S2=24﹣S1,
S=S2﹣S1=[24﹣( b2+4b+16)]﹣(
b2+4b+16)=﹣
b2+8b+8.
综上可得,S= .
【解析】(1)过点B过BE⊥x轴,垂足为E.求出点E的坐标,求出等腰直角三角形ABE即可;(2)把A(8,0)C(0,4)点代入y=x+b求出即可;(3)求出梯形的面积,过点N作x轴的垂线NH,得到NH=AH=MH,设NH=a,代入面积公式求出a,代入解析式求出b即可;(4)分为三种情况:①当0≤b≤4时,②当4 ﹣8≤b<0时,③③﹣8<a<﹣8+4
时,设直线AB的解析式是y=cx+d,把A(8,0),B(4,4)代入求出解析式,解两直线组成的方程组,求出交点坐标,根据梯形和三角形的面积求出S即可.
【考点精析】掌握一次函数的图象和性质是解答本题的根本,需要知道一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
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【题目】阅读下面材料,然后解答问题:
在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1 , y1),Q(x2 , y2)为端点的线段的中点坐标为( ,
).如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=
(x<0)和y=
(x>0)的图象关于y轴对称,直线y=
+
与两个图象分别交于A(a,1),B(1,b)两点,点C为线段AB的中点,连接OC、OB.
(1)求a、b、k的值及点C的坐标;
(2)若在坐标平面上有一点D,使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形,请求出点D的坐标.
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【题目】为庆祝中国共产党建党90周年,6月中旬我市某展览馆进行党史展览,把免费参观票分到学校.展览馆有2个验票口A、B(可进出),另外还有2个出口C、D(不许进).小张同学凭票进入展览大厅,参观结束后离开.
(1)小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式?(要求用列表或树状图)
(2)小张不从同一个验票口进出的概率是多少?
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【题目】某课题小组为了解某品牌手机的销售情况,对某专卖店该品牌手机在今年1~4月的销售做了统计,并绘制成如图两幅统计图(如图).
(1)该专卖店1~4月共销售这种品牌的手机台;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,“二月”所在的扇形的圆心角的度数是;
(4)在今年1~4月份中,该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是台.
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【题目】一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD如图1所示,AB=10cm,小
明用这张纸带将底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴(要求包
贴时没有重叠部分). 小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的
侧面展开进行分析.
(1)若纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为 cm;
(2)若AD=100cm,纸带在侧面缠绕多圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是cm.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于 .
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【题目】西海岸旅游旺季到来,为应对越来越严峻的交通形势,新区对某道路进行拓宽改造.工程队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,随后工程队加快了施工进度,按时完成了拓宽改造任务.下面能反映该工程尚未改造的道路y(米)与时间x(天)的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
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