Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，以AD和AE的长为根的一元二次方程是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,根与系数的关系,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：设BC=a，根据等边对等角可得∠BDC=∠BCD，再根据等角的余角相等求出∠BCE=∠E，根据等角对等边可得BC=BE，然后表示出AD、AE，再利用根与系数的关系表示出AD+AE，AD•AE，根据勾股定理可得b²=c²-a²，整理后写出方程即可．

解答：解：设BC=a，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵CE⊥CD，
∴∠BCE+∠BCD=∠E+∠BDC=90°，
∴∠BCE=∠E，
∴BC=BE=a，
∵AC=b，AB=c，
∴AD=AB-BD=c-a，
AE=AB+BE=c+a，
∴AD+AE=c-a+c+a=2c，
AD•AE=（c-a）（c+a）=c²-a²，
由勾股定理得，b²=c²-a²，
∴AD•AE=b²，
∴以AD和AE的长为根的一元二次方程是x²-2cx+b²=0．
故答案为：x²-2cx+b²=0．

点评：本题考查了勾股定理，等边对等角的性质，等角对等边的性质，用a、c表示出AD、AE是解题的关键，也是本题的难点．