Question

【题目】我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．

定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．

例如：因为，所以；因为，所以．

根据“对数”运算的定义，回答下列问题：

（1）填空： ， = ．

（2）已知m，n为整数，且｜m－2｜＋｜m－n｜＝，求m＋n的值．

（3） 对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例加以说明，并写出正确的结论．

Answer 1

【答案】（1）4，－7；（2）m+n=2或3或5或6；（3）不正确，

【解析】

(1)根据题干中给出的条件可知，，则,求x的值.类似的把和计算出来，再代入求值.

(2)首先根据(1)中的规律可知，，而m，n为整数，所以｜m－2｜+｜m－n｜是两个非负整数相加，结果为1的只有1+0=1和0+1=1这两种情况，分别计算m和n的值.

(3) 根据题干的规律把和分别计算出来，然后比较得出结论.

(1)由 可化为可知.

令，则可化为

又 ，则

所以

同理可得：，

则原式=

(2)由(1)中的总结可得

∴｜m－2｜＋｜m－n｜＝1

∵m，n为整数

∴｜m－2｜+｜m－n｜是两个非负整数相加

∴只有0+1=1或1+0=1

①当0+1=1时，｜m－2｜=0，｜m－n｜=1

得到m－2=0，m－n=

解得：m=2，n=1或3

则m+n=3或5

②当1+0=1时，｜m－2｜=1，｜m－n｜=0

得到m－2=，m－n=0

解得：m=3，n=3或m=1，n= 1

则m+n=2或6

综上所述：m+n=2或3或5或6

(3)不正确. 反例：∵,而

∴

而

正确结论是：