Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OC=2．动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连接OD，作DE⊥OD交边AB于点E，连接OE．设CD的长为t．
（1）当t=1时，求直线DE的解析式．
（2）设梯形COEB的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）是否存在t的值，使得OE的长取得最小值？若存在，求出此时t的值并求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵四边形OABC是矩形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE．
∴．
∴当t=1时，，
∴BE=1．
∴点E的坐标为（3，1）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
又∵点D的坐标为（1，2），
∴直线DE的解析式为．

（2）由（1）得，即．
∴BE=．
∴S=（BE+CO）•BC=-t²+t+3．自变量t的取值范围是：0＜t＜3．

（3）存在t的值，使得OE的长取得最小值．
因为Rt△OAE的直角边OA的长为定值，所以当Rt△OAE的面积最小时，AE的长最小，即OE的长最小．而当Rt△OAE的面积最小时，就是梯形COEB的面积最大时．
由（2）S=-t²+t+3=-（t-）²+可知，
当时满足此要求．此时，AE=2-BE=．
∴点E的坐标为（3，）．
分析：（1）四边形OABC是矩形，且DE⊥OD，易证得△OCD∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例，可得当t=1时，，即可求得点E的坐标为（3，1）．又由点D的坐标为（1，2），由待定系数法即可求得直线DE的解析式；
（2）由（1）得，即可求得BE的值，又由S=（BE+CO）•BC即可求得答案；
（3）因为Rt△OAE的直角边OA的长为定值，所以当Rt△OAE的面积最小时，AE的长最小，即OE的长最小．而当Rt△OAE的面积最小时，就是梯形COEB的面积最大时．根据二次函数最值的求解方法即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．