Question

4．在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=80°，∠C=46°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）探究∠DAE与∠B、∠C之间有何等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD的度数，由∠DAE=∠BAE-∠BAD即可得出结论；
（2）设∠C=α°，∠B=β°，α＞β，同（1）即可得出结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=46°，
∴∠BAC=180°-80°-46°=54°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=27°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=27°-10°=17°；
（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），理由如下：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α-β）=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β，
∵∠C＞∠B
∴当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β）=$\frac{1}{2}$α-β=$\frac{1}{2}$（α-β）．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．