Question

7．（1）求1²-2²+3²-4²+…+99²-100²的和．
（2）探究式子1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²的和．

Answer 1

分析 （1）分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题；
（2）由已知得，1²=1，1²-2²=-3，1²-2²+3²=6，1²-2²+3³-4²=-10，根据已知可得等式的左边是正整数的平方和，当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负；所以归纳推理可知，第n个式子．

解答 解：（1）原式=（1²-2²）+（3²-4²）+…+（99²-100²）
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（99-100）（99+100）
=-（1+2）-（3+4）-…-（99+100）
=-（1+2+3+4+…+99+100）
=-5050；

（2）由已知得，1²=1=（-1）²×$\frac{1×（1+1）}{2}$，
1²-2²=-3=（-1）³×$\frac{2×（2+1）}{2}$，
1²-2²+3²=6=（-1）⁴×$\frac{3×（3+1）}{2}$，
1²-2²+3³-4²=-10=（-1）⁵×$\frac{4×（4+1）}{2}$，
…
根据已知可得等式的左边是正整数的平方和，当n为奇数时，符号为正，当n为偶数时，符号为负，
所以归纳推理可知，第n个式子为1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了平方差公式的运用，归纳推理，根据已知归纳推理出规律是解答此题的关键．