如图所示.过y轴上一点M(0.1)作直线与二次函数y=$\frac{1}{4}$x2的图象交于A.B两点.过A.B两点分别作y轴的垂线.垂足为C.D.直线l过点M关于原点O的对称点N.且与y轴垂直．过点A作l的垂线.垂足为E．(Ⅰ)当A点的横坐标是-1时.证明AM=AE,(Ⅱ)当直线AB变化时.求OC•OD+AC•BD的值,(Ⅲ)当直线AB变化时.试判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y=$\frac{1}{4}$x²的图象交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E．
（Ⅰ）当A点的横坐标是-1时，证明AM=AE；
（Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OC•OD+AC•BD的值；
（Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

分析（1）根据A点的横坐标是-1求出A点坐标，再由M（0，1）得出AE的长，根据勾股定理求出AM的长，进而可得出结论；
（2）令A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），令直线AB的函数表达式为y=kx+1，再由根与系数的关系即可得出结论；
（3）令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知x_A•x_B=-4，x_A+x_B=4k，且y_A=kx_A+1，y_B=kx_B+1，由梯形的中位线定理得出PQ的长，再由勾股定理即可得出结论．

解答（Ⅰ）证明：∵A点的横坐标是-1，
∴A（-1，$\frac{1}{4}$）．
又∵M（0，1），
∴AE=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
在Rt△ACM中，
∵AM=$\sqrt{{AC}^{2}+{MC}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（1-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
∴AM=AE=$\frac{5}{4}$；

（Ⅱ）解：令A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），令直线AB的函数表达式为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}{x}^{2}\\ y=kx+1\end{array}\right.$可得x²-4kx-4=0．
此方程之两根为A、B两点的横坐标x_A，x_B，
且x_A•x_B=-4，x_A+x_B=4k．
故OC•OD+AC•BD=y_Ay_B-x_Ax_B=$\frac{1}{16}$（x_Ax_B）²-x_Ax_B=1+4=5．

（Ⅲ）解：如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知x_A•x_B=-4，
x_A+x_B=4k，且y_A=kx_A+1，y_B=kx_B+1．
∵PQ是梯形AEFB的中位线，
∴PQ=$\frac{AE+BF}{2}$=$\frac{{（y}_{A}+1）+（{y}_{B}+1）}{2}$=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$+1=$\frac{k（{x}_{A}+{x}_{B}）}{2}$+2=2（k²+1）．
在Rt△ACM中可得：
AM=$\sqrt{{AC}^{2}+{MC}^{2}}$=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+（1-{y}_{A}）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+{k}^{2}{x}_{A}^{2}}$=-x_A•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
同理，在Rt△BDM中，
∵BM=x_B•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
∴AB=AM+BM=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•（x_B-x_A），
∴AB²=（1+k²）[（x_A+x_B）²-4x_Ax_B]=（1+k²）（16k²+16），
∴AB=4（1+k²），PQ=$\frac{1}{2}$AB．
∵PQ⊥l，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．

点评本题考查的是圆的综合题，涉及到根与系数的关系、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，在解答（III）时要注意利用数形结合求解．

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