Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴，B（2，0），tan∠AOB=$\sqrt{3}$，过点A的双曲线为y=$\frac{k}{x}$，在x轴上取一点P，过x轴正半轴上的点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的对应线段O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，求直线l的解析式；
（2）当点B′落在双曲线上时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l垂直平分OA，连接PA，则有PA=PO，根据tan∠AOB的值确定出∠AOB的度数，得出三角形AOP为等边三角形，由B坐标确定出A坐标，根据l与x轴夹的锐角求出l与y轴的交点坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线l解析式；
（2）连接BB′，可得直线l垂直平分BB′，根据l垂直于OA，得到BB′与OA平行，确定出BB′解析式与反比例解析式，联立求出B′坐标，过B′作B′D⊥x轴，连接PB′，根据△BB′P为等边三角形，求出BD与DP的长，进而求出OP的长，确定出P坐标．

解答 解：（1）直线l垂直平分OA，连接PA，则有PA=PO，
∵tan∠AOB=$\sqrt{3}$，即∠AOP=60°，
∴△OAP为等边三角形，
∵B（2，0），AB⊥x轴，
∴等边△OAP边长为4，AB=2$\sqrt{3}$，OB=2，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），OP=OA=4，即P（4，0），
∵l与x轴夹的锐角为30°，OP=4，
∴l与y轴交点坐标为（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
设直线l解析式为y=kx+b，
把（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）和（4，0）代入得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则直线l解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）连接BB′，可得直线l垂直平分BB′，
∵OA⊥l，
∴BB′∥OA，
∵直线OA解析式为y=$\sqrt{3}$x，B（2，0），
∴直线BB′解析式为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，反比例解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，
联立得：B′（1+$\sqrt{5}$，$\sqrt{15}$-$\sqrt{3}$），
过B′作B′D⊥x轴，连接PB′，
∵△BB′P为等边三角形，
∴BD=1+$\sqrt{5}$-2=$\sqrt{5}$-1=DP，
则OP=2+2（$\sqrt{5}$-1）=2$\sqrt{5}$，即P（2$\sqrt{5}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，等边三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．