Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点.

（1）、求抛物线相应的函数表达式;

（2）、点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥轴交抛物线于N，连接NB. 若点M的横坐标为t，是否存在t，使MN的长最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，请说明理由;

(3)、若对一切x≥0均有ax²＋bx＋c≤mx－m+13成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

 (1) 用待定系数法，建立方程组正确（2分），抛物线的函数表达式为y=-x²+2x+3（2分）;

(2)MN=-t²+3t=-（t-1.5）²+2.25（2分）;当t=1.5时（1分），MN的最大值为2.25；此时M（1.5，1.5），N（1.5，3.75）；得BM=; MN=; BN=;过点M作△BNM的高MH，得MH=（1分）；sin∠MBN=（1分）；

（3）令y₁=-x²+2x+3； y₂=mx－m+13，得直线y₂=mx－m+13过点（1，13）（1分），当y₁=y₂时，有-x²+2x+3=mx－m+13，其△=m²-36=0，得m=-6（2分），或m=6（因为 x≥0，所以舍去），当直线y₂=mx－m+13过点C时，m=10（1分），由图像可知，当-6≤m≤10时，均有y₁≤y_2，所以m的取值范围为-6≤m≤10（1分）。