Question

13．如图①，已知二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的面积．
（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒$\sqrt{2}$个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△BOC相似？
（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得△BMN与△BOC的关系，根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根据BQ∥PC，BQ=PC，可得P点坐标；根据PQ=BC，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3，即A（-1，0），B（3，0）；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[3-（-1）]×3=6；
（2）若∠BMN=90°，如图1：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BOC，
$\frac{BM}{BO}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{3-t}{3}$=$\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}$．

$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（3-t），解得t=$\frac{3}{2}$；
若∠BNM=90°时，如图2：，
BM=（3-t），BN=$\sqrt{2}$t，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△BMN∽△BCO，
$\frac{BN}{OB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3}$=$\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$，
3-t=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t，解得t=1；
综上所述：t=1或t=$\frac{3}{2}$；
（3）如图3：，
若CB为对角线，即CP∥QB，CP₁=Q₁B=3-1=2，y${\;}_{{P}_{1}}$=y_C=3，
P₁（2，3）；
CB为边，即CB∥PQ，CB=PQ，
设P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b-1）．
PQ=CB，即（a-1）²+（1-a）²=18，
化简，得
a²-2a-8=0．
解得a=-2或a=4．
当a=-2时，b=-（-2）²+2×（-2）+3=-5，
即P₂（-2，-5）；
当a=4时，b=-4²+2×4+3=-5，
即P₃（4，-5）；
综上所述：P₁（2，3），P₂（-2，-5），P₃（4，-5）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出A、B、C的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．