Question

3．如图，P是⊙O外一点，PC为切线，割线PAB经过圆心O．
（1）若PB=12，PC=4$\sqrt{3}$，求⊙O的半径长；
（2）作∠BPC的角平分线交BC于D，求∠CDP的度数．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，PO=PB-OB=12-r，根据切线的性质得∠PCO=90°，则利用勾股定理得到r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，然后解方程即可；
（2）在Rt△POC中，由于OC=4，OP=8，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OPC=30°，然后根据角平分线定义得到∠CDP的度数．

解答 解：（1）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，PO=PB-OB=12-r，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
在Rt△POC中，∵OC²+PC²=PO²，
∴r²+（4$\sqrt{3}$）²=（12-r）²，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
（2）在Rt△POC中，∵OC=4，PO=8，
∴∠OPC=30°，
∵PD平分∠BPC，
∴∠CDP=15°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．