Question

18．解方程：
（1）2x²-5x+1=0
（2）2x²-4x-1=0（配方法）
（3）如图点C是线段AB的黄金分割点，计算线段AB的黄金比$\frac{AC}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）确定a，b，c的值，求出b²-4ac的值，在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根；
（2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；
（3）把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，据此求得黄金比．

解答 解：（1）2x²-5x+1=0
∵a=2，b=-5，c=1，
∴△=25-8=17＞0，
∴${x}_{1}=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，${x}_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$；
    
（2）2x²-4x-1=0
2（x²-2x+1-1）=1，
2（x-1）²-2=1，
2（x-1）²=3，
（x-1）²=$\frac{3}{2}$，
∴x-1=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴${x}_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，${x}_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$；
  
（3）设线段AB=1，较长的线段AC的长为x，
∵C是线段AB的黄金分割点，
∴AC²=AB•BC，
x²=1•（1-x），
解得：${x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去负值），

∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{x}{1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
答：黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了运用公式法和配方法解一元二次方程，以及黄金分割，解题时注意：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．