Question

1．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）试猜想：DG与BE的关系DG=BE，DG⊥BE；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；
（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得∠AGD=∠AEB，延长EB交DG于点H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论；由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得DG=BE；
（2）过点A作AM⊥DG交DG于点M，根据正方形的性质可证得DM=AM=$\sqrt{2}$，然后根据勾股定理可求得GM的长，进而可求得BE=DG=DM+GM；
（3）对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△EGH的高最大，对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△BDH的高最大，因此求出这时的面积，再相加即可．

解答 解：（1）如图1，四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，且∠AGD=∠AEB，
如图1，延长EB交DG于点H，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∴△DEH中，∠DHE=90°，
∴DG⊥BE，
故答案为：DG=BE，DG⊥BE；

（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，
如图2，过点A作AM⊥DG于点M，则∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠MDA=45°，
∵AD=$\sqrt{2}$，AG=2，
∴在Rt△AMD中，DM=AM=1，
在Rt△AMG中，GM=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DG=DM+GM=1+$\sqrt{3}$，
∴BE=DG=1+$\sqrt{3}$；

（3）△GHE与△BHD面积之和的最大值为3．                   
理由：如图，对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大，
∴S_△EGH=$\frac{1}{2}$AG²=$\frac{1}{2}$×4=2，
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
∴S_△BDH=$\frac{1}{2}$AD²=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴△GHE与△BHD面积之和的最大值是2+1=3．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，锐角三角函数，全等三角形的性质和判定以及勾股定理的综合应用，解本题的关键是锐角三角函数的灵活运用．解题时注意：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．