Question

5．如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，CD=3，则AC=6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD²，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=$\frac{1}{2}x$，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB²，然后根据AB=AD，列方程求解即可．

解答 解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．

在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，$\frac{EC}{DC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴DE=$\frac{3}{2}$，CE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
则AE=x-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD²=AE²+DE²=$（x-\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∵AB=BC，BH⊥AC，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}x$，
∵tan∠BAC=$\frac{BH}{AH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}AH=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB²=BH²+AH²，
∴$A{B}^{2}=（\frac{1}{2}x）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}=\frac{7}{12}{x}^{2}$．
∵AB=AD，
∴$（x-\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}+\frac{9}{4}$=$\frac{7}{12}{x}^{2}$
解得：x₁=$6\sqrt{3}$，x₂=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$（舍去）．
∴AC=6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键．