Question

【题目】（本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B

(1) 求m的值及抛物线的函数表达式;

(2) 是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由;

(3) 若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由. （参考公式：在平面直角坐标之中，若A((x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离为）

Answer 1

【答案】解：(1) ，

(2) 存在. 设Q(x，)

① 当点C为直角顶点时,∵△ACO∽△CQE,∴x＝5.2;

当点A为直角顶点时,∵△ACO∽△AQE,∴x＝8.2;

综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2.

(3) 直线BC的解析式为,∴P(1，3)

设过点P的直线为：y＝kx＋3－k,

联立，整理得x2＋(4k－2)x－4k－3＝0.

∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－4k－3，y1－y2＝k(x1－x2)

∴

同理：，

∴, (请注意符号)

∴为定值.

【解析】试题分析：（1）首先求得m的值，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；

（2）（4）问较为复杂，如答图所示，分几个步骤解决：

第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；

第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；

第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；

第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论： 为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．

（3）分①若C为直角顶点，△ACO相似于△CQE，②若A为直角顶点，△ACO相似于

△AQE，两种情况讨论求解．

试题解析：

解：(1) ，

(2) 存在. 设Q(x，)

① 当点C为直角顶点时,∵△ACO∽△CQE,∴x＝5.2;

当点A为直角顶点时,∵△ACO∽△AQE,∴x＝8.2;

综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2.

() 直线BC的解析式为,∴P(1，3)

设过点P的直线为：y＝kx＋3－k,

联立，整理得x2＋(4k－2)x－4k－3＝0.

∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－4k－3，y1－y2＝k(x1－x2)

∴

同理：，

∴, (请注意符号)

∴为定值.