【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线L:经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为
.
(1)求抛物线L的表达式;
(2)点P在抛物线上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.
【答案】(1) y=-x2-5x-6;(2)符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或(,
)或(4,2)。
【解析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3,0)、B(0,-6)在L′上的对应点分别为A′(3,0)、B′(0,6),利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y=x2-5x+6,设P(m,m2-5m+6)(m>0),根据PD⊥y轴,可得点D的坐标为(0,m2-5m+6),可得PD=m,OD=m2-5m+6,再由Rt△POD与Rt△AOB相似,分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况,根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
(1)由题意,得,
解得:,
∴L:y=-x2-5x-6;
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为,
∴点A(-3,0)、B(0,-6)在L′上的对应点分别为A′(3,0)、B′(0,6),
∴设抛物线L′的表达式y=x2+bx+6,
将A′(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5,
∴抛物线L′的表达式为y=x2-5x+6,
∵A(-3,0),B(0,-6),
∴AO=3,OB=6,
设P(m,m2-5m+6)(m>0),
∵PD⊥y轴,
∴点D的坐标为(0,m2-5m+6),
∵PD=m,OD=m2-5m+6,
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似,
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况,
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时,则,即
,
解得m1=1,m2=6,
∴P1(1,2),P2(6,12);
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时,则,即
,
解得m3=,m4=4,
∴P3(,
),P4(4,2),
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限,
∴符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或(,
)或(4,2).
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【题目】如图,矩形OABC的边OA,OC分别在轴、
轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应),若AB=1,反比例函数
的图象恰好经过点 A′,B,则
的值为_________.
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【题目】为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
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【题目】如图,在某一路段,规定汽车限速行驶,交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区,其中点C、D为监测点,已知点C、D、B在同一直线上,且AC⊥BC,CD=400米,tan∠ADC=2,∠ABC=35°
(1)求道路AB段的长(结果精确到1米)
(2)如果道路AB的限速为60千米/时,一辆汽车通过AB段的时间为90秒,请你判断该车是否是超速,并说明理由;参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值:a= ,b= ,c= .
(2)如果乙再射击一次,命中7环,那么乙的射击成绩的方差 .(填“变大”“变小”“不变”)
(3)教练根据这10次成绩若选择甲参加比赛,教练的理由是什么?
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【题目】某服装店因为换季更新,采购了一批新服装,有A、B两种款式共100件,花费了6600元,已知A种款式单价是80元/件,B种款式的单价是40元/件
(1)求两种款式的服装各采购了多少件?
(2)如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共60件,且采购服装的费用不超过3300元,那么A种款式的服装最多能采购多少件?
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【题目】为迎接2020年中考,某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了多少名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该中学九年级共有860人参加了这次数学考试,估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?
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【题目】如图所示,已知点的横坐标为2,将
点向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到
点,且
、
两点均在双曲线
上.
(1)求反比例函数的解析式.(2)若直线于反比例函数
的另一交点为
,求
的面积.
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