Question

4．解方程求出两个根x₁、x₂，并计算两个根的和与积，完成下表．

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
9x2-2=0	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	-$\frac{\sqrt{2}}{3}$	0
2x2-3x=0	0	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	0
x2-3x+2=0	1	2	3	2
关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）	$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$	$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$

（1）补全上述表格；
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论；（用文字或式子表达）
（3）根据表格中所得的规律解答：已知x₁，x₂是方程3x²-4x-2=0的两根，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根据表中给出的x₁、x₂的值，分别进行计算即可得出答案，从而补全统计表；
（2）根据（1）中的第四行的结论，推广到一般进行总结；
（3）根据（2）得出的 x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，求出x₁+x₂和x₁•x₂的值，再把要求的式子进行整理，然后代值计算即可得出答案．

解答 解：（1）∵x₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴x₁•x₂=-$\frac{2}{9}$，
∵x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；
填表如下：

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
9x2-2=0	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	-$\frac{\sqrt{2}}{3}$	0	-$\frac{2}{9}$
2x2-3x=0	0	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	0
x2-3x+2=0	1	2	3	2
关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）	$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$	$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$	-$\frac{b}{a}$	$\frac{c}{a}$

故答案为：-$\frac{2}{9}$，-$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$；

（2）已知：x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，
那么 x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；

（3）∵x₁，x₂是方程3x²-4x-2=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{2}{3}$，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{16}{9}$-2×（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{28}{9}$．

点评 此题考查了根与系数的关系，熟悉一元二次方程根与系数的关系的猜想过程与证明过程是本题的关键．