Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O的切线；（2）由在△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

试题解析：（1）连接OE， ∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC，

∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF， ∴∠OFE=∠OEF， ∴∠OEF=∠EFG，

∴OE∥FG， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；

（2）∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r， ∴OB=r，BE=r， ∴BF=OB+OF=r，

∴FG=BFsinB=r， ∴BG==r， ∴EG=BG﹣BE=r，

∴S△FGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2， ∵BC是切线， ∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE，

∴△EGH∽△FGE， ∴=（）=， ∴S△EHG=S△FGE=r2．