Question

【题目】边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ=AP；

（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC； （3）. 结论：PF=EQ，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论；（2）如图1证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE=BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，

得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论．如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论．

试题解析：

（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°． ∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2，

由勾股定理得：AC=，

∵AP=x，∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴ ，

∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），

由CE=BC=，∴y=﹣，

x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，

∴当x=3或1时，CE=BC；

（3）解：结论：PF=EQ，理由是：

如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，

连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．

当F在AD的延长线上时，如图4，同理可得：PF=PG=EQ．