Question

18．观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$…，用含自然数n（n≥1）的等式表示上述规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}（n≥1）$．

Answer 1

分析 根据式子的特点，式子左边被开方数中第一个数与分数的分母相差2，而等式的右边，根号外的式子与等号左边，被开方数中第一个数的差是1，右边，被开方数中的分母与左边根号内左边的数相差2，据此即可写出．

解答 解：用含自然数n（n≥1）的等式表示为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）．
故答案是：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）．

点评 本题考查了二次根式，正确理解式子各部分之间的关系是关键．