Question

6．已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，点F是边BC上一点，且AE+CF=EF．求∠EDF的度数．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得DA=DC，∠ADC=90°，于是可把△DAE绕点D逆时针旋转90°得△DCG，如图，根据旋转的性质得CG=AE，DE=DG，∠DCG=∠A=90°，∠EDG=90°，则可判断点G在BC的延长线上和EF=GF，接着证明△DEF≌△DGF，根据全等三角形的性质得∠EDF=∠GDF，所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EDG=45°．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°
∴把△DAE绕点D逆时针旋转90°可得△DCG，如图，
∴CG=AE，DE=DG，∠DCG=∠A=90°，∠EDG=90°，
∴点G在BC的延长线上，
而AE+CF=EF，
∴CG+CF=EF，即EF=GF，
在△DEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DF=DF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DGF，
∴∠EDF=∠GDF，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EDG=45°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．