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    Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点A、B、C在坐标轴上，点C的坐标为（0，2），点D在射线AB上运动，过点D作PD⊥AB，交直线AC于点P，作过点A关于PD的对称点A′，连接PA′，点D的运动速度为每秒
    		3
    个单位，运动时间为t秒．
    （1）求线段AB的长度；
    （2）设△PAA′与△ABC的重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
    （3）点D在运动过程中，连接A′C和BP交于点E，当A′C垂直平分BP，求t的值．
    考点：一次函数综合题
    专题：综合题
    分析：先求出AO、BO，即可得到AB的长度；根据三角形的面积公式进行解答；画出图形来解答最后一问．
    解答：解：（1）∵∠AOC=90°，∠CAB=30°，CO=2，
    ∴AO=
    CO
    tan∠CAB
    =
    2
    tan30°
    =2
    		3
    ，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠OCB=30°，
    ∴OB=CO•tan∠OCB=2×tan30°=
    2
    		3
    3
    ，
    ∴AB=AO+OB=2
    		3
    +
    2
    		3
    3
    =
    8
    		3
    3
    ；
    （2）由题意得AD=
    		3
    t    ，AA'=2
    		3
    t，
    ∴PD=AD•tan∠CAB=
    		3
    t•
    		3
    3
    =t    ，
    ∴S=
    1
    2
    ×AA′×PD    =
    1
    2
    ×2
    		3
    t×t    =
    		3
    t2      （t≤2）；
    （3）如图，由题意得PA'=BA'，
    易知PA'=2t，
    ∴A'B=2t，
    ∵A'B=AB-AA'，
    ∴
    8
    		3
    3
    -2
    		3
    t=2t    ，
    解得t=
    6-2
    		3
    3
    ．
    点评：该题目考查了一次函数的综合运用，关键是灵活利用图形来进行分析和解答，难点是三角函数的运用．
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    1
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    4
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