Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，半径为1的与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，直线：与轴和轴分别交于两点．

（l）当直线与相切时，求出点的坐标和点的坐标；

（2）如图2，当点在线段上时，直线与交于两点（点在点的上方），过点作轴，与交于另一点，连结交轴于点．

①如图3，若点与点重合时，求的长并写出解答过程；

②如图2，若点与点不重合时，的长是否发生变化，若不发生变化，请求出的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由．

（3）如图4，在（2）的基础上，连结，将线段绕点逆时针旋转到，若点在的延长线时，请用等式直接表示线段，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）点和点的坐标是，；（2）①；②不发生变化，的长为，理由详见解析；（3），理由详见解析

【解析】

（1）由已知可得点M坐标及点在原点的右侧，设直线与相切于点，连结，则，易证，根据相似三角形的性质即可求出OP的值，从而得出点P的坐标；

（2）①由点与点重合得出，易证，根据相似三角形的性质即可求出OD的值；

②过点作的直径，连结，，根据同角的余角相等及等边对等角可得，最后根据相似三角形的性质即可求出OD的值；

（3）在（2）的基础上有可直接使用，由旋转联想到构造三垂直全等模型，作QR轴，即能用F的坐标表示QR、BR等线段长度，又由得相似，对应边的比相等得到用F坐标表示的等式，利用F在上化简式子，并代入求,即能得到与的长度关系．

解：（1）如图1，

∵与轴交于点，

∴当时，，

∴点的坐标为

∵与轴交于点，

∴点在原点的右侧．

设直线与相切于点，连结，则．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点和点的坐标是，

（2）①如图2，

∵点与点重合，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

②不发生变化，的长为，理由如下：

过点作的直径，连结，，

∴

∵轴，

∴轴，

∴

∵，

∴．

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

（3）

过点Q作QR轴与R，设CF与轴交点为S

线段BF绕点B逆时针旋转到BQ

,BQ=BF,

即是等腰直角三角形

在和中

设，

则

在（2）的基础上有

,C、D、Q在同一直线上

整理得：

点在上，满足

代入整理得：

，