Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为：y=x²+x-4．

（2）点P是第三象限内抛物线y=x²+x-4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m²+m-4．
于是PC=|n|=-n=-m²-m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=×BC×PC+×（PC+OB₁）×OC-×OB×OB₁
=×（4+m）×（-m²-m+4）+×[（-m²-m+4）+4]×（-m）-×4×4
=m²-m=（m+2）²+
当m=-2时，△PBB₁的面积最大，这时，n=，即点P（-2，）．

（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x₀，y₀），使点Q到线段BB₁的距离为．
如答图2，过点Q作QD⊥BB₁于点D．
由（2）可知，此时△QBB₁的面积可以表示为：（x₀+2）²+，
在Rt△OBB₁中，BB₁==
∵S_△QBB1=×BB₁×QD=××=2，
∴（x₀+2）²+=2，
解得x₀=-1或x₀=-3
当x₀=-1时，y₀=-4；当x₀=-3时，y₀=-2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为，这样的点Q的坐标是（-1，-4）或（-3，-2）．
分析：（1）首先根据旋转的性质确定点B、B₁、A₂三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PBB₁的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB₁面积的方法，如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB₁的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．