Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝ ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．

（1）求证：DF＋BE＝EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，
∴∠FAE＝∠GAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE

（2）解：∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝75°，
∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠EFC＝30°
（3）解：∵AB＝BC＝ ，∠BAE＝30°，
∴BE＝1，CE＝ －1，
∵∠EFC＝30°，
∴CF＝3－ ，
∴S△CEF＝ CECF＝2 －3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF ，
S△AEF＝ （S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－
【解析】（1）根据已知条件可证△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，然后可证△FAE≌△GAE，则结论可得；（2）由（1）知，△FAE≌△GAE，结合已知条件可得解；（3）根据AEF的面积=正方形ABCD的面积-ADF的面积-AEB的面积-CEF的面积=正方形ABCD的面积-AEF的面积-CEF的面积即可求解。