Question

4．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x⁴-5x²+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-5y+4=0  ①，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²=1，∴x=±1；
当y=4时，x²=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x²+x）²-8（x²+x）+12=0．

Answer 1

分析 （1）根据换元法解一元二次方程的特点即可得出结论；
（2）设x²+x=y，于是原方程可变为y²-8y+12=0，解方程可求出y值，再将其代入x²+x=y中求出x值，此题得解．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
故答案为：换元；降次．
（2）设x²+x=y，于是原方程可变为y²-8y+12=（y-2）（y-6）=0，
解得：y₁=2，y₂=6．
当y=2时，x²+x=2，
∴x₁=-2，x₂=1；
当y=6时，x²+x=6，
∴x₃=-3，x₄=2；
∴原方程有四个根：x₁=-2，x₂=1，x₃=-3，x₄=2．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．