Question

16．平面直角坐标系中，点A在函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，点B在y₂=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b：
（1）当|a|=|b|=5时，求△OAB的面积；
（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；
（3）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求a•b的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以得到点A、B的横坐标，则由反比例函数图象上点的坐标特征易求点O到直线AB的距离，所以根据三角形的面积公式进行解答即可；
（2）AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据题意知道两个函数图象关于y轴对称，则点A、B关于y轴对称，由此求得可以得到a=-b，则易求点O到直线AB的距离，所以根据三角形的面积公式进行解答即可；
（3）根据函数图象上点的坐标特征得A、B坐标分别为：（a，$\frac{2}{a}$），（b，-$\frac{2}{b}$），根据两点间的距离公式得到OA²=a²+（$\frac{2}{a}$）²，OB²=b²+（-$\frac{2}{b}$）²，则利用等腰三角形的两腰相等的性质易得a²+（$\frac{2}{a}$）²=b²+（-$\frac{2}{b}$）²，即（ a²-b²）（1-$\frac{4}{{a}^{2}{b}^{2}}$）=0．由此可以求得ab的值．

解答 解：（1）∵a＞0，b＜0，当|a|=|b|=5时，可得A（5，$\frac{2}{5}$），B（-5，$\frac{2}{5}$），
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{2}{5}$=2；

（2）如图1，设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{2}{b}$），当AB∥x轴时，$\frac{2}{a}$=-$\frac{2}{b}$，
∴a=-b，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×（a-b）×$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{2}{a}$=2；

（3）设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{2}{b}$），
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB
由OA²=a²+（$\frac{2}{a}$）²，OB²=b²+（-$\frac{2}{b}$）²，
∴a²+（$\frac{2}{a}$）²=b²+（-$\frac{2}{b}$）²，
整理得：（ a²-b²）（1-$\frac{4}{{a}^{2}{b}^{2}}$）=0．
∵AB与x轴不平行，
∴|a|≠|b|，
∴1-$\frac{4}{{a}^{2}{b}^{2}}$=0，
∴a•b=±2．
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0．
∴a•b=-2．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标的性质，三角形的面积公式．注意：根据两个反比例函数的解析式可以得到这两个函数图象关于y轴对称，可以省去不少的计算过程．