Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，联结BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC=CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，
∵∠BAE+∠EAC=60°，∠DAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中

∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）解：四边形BCGE的形状是菱形，
理由是：∵△AEB≌△ADC
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠ACD=∠BCG=120°，
∴∠DBE=60°，
∴∠BCG+∠DBE=180°，
∴BE∥CG，
∵BC∥EG，
∴四边形BCGE是平行四边形，
∵BC=CD，
∴BE=BC，
∴四边形平行四边形BCGE是菱形．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，求出∠BAE=∠CAD，根据SAS推出即可；
（2）根据全等得出BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°，求出∠CBE=60°，推出BE∥AG，得出平行四边形，根据BE=CD=BC即可得出菱形．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．