Question

17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是（12，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．

解答 解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y=$\frac{32}{x}$上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a²+10a-8=0，
解得：a₁=$\frac{2}{3}$，a₂=-4（舍去），
∴点F的坐标为：（12，$\frac{8}{3}$）．
故答案为：（12，$\frac{8}{3}$）．

点评 此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，从而得到方程4a（10+3a）=32是关键．