Question

9．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据“和谐数”写出四个四位数的“和谐数”；设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则这个四位数为a×10³+b×10²+b×10+a=1001a+110b，利用整数的整除得到$\frac{1001a+110b}{11}$=91a+10b，由此可判断任意四位数“和谐数”都可以被11整除；
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则这个三位数为x•10²+y•10+x=101x+10y，由于$\frac{101x+10y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y与x的关系式．

解答 解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；
任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则a×10³+b×10²+b×10+a=1001a+110b，
∵$\frac{1001a+110b}{11}$=91a+10b
∴四位数“和谐数”abba能被11整数；
∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•10²+y•10+x=101x+10y，
$\frac{101x+10y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，
∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，
∴2x-y=0，
∴y=2x（1≤x≤4）．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．灵活利用整数的整除性．