Question

8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为3-$\sqrt{3}$，$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．

解答 解：∵AB是直径，
∴∠C=90°，
又∵BC=2cm，∠ABC=60°，
∴AB=2BC=4，AC=2$\sqrt{3}$，
则AP=（4-2t）cm，AQ=t，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤2，
①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则
△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{t}{2\sqrt{3}}=\frac{4-2t}{4}$，
解得t=3-$\sqrt{3}$，
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，
则$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
故$\frac{4-2t}{2\sqrt{3}}=\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$，
故答案为：3-$\sqrt{3}$，$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．