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    8．如图，在四边形OABC中，BC∥AO，OC=AB，在建立如图的平面直角坐标系中，A（8，0），B（6，6），H（4，0），过点H作x轴的垂线与直线AC交于P点．
    （1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；
    （2）求出△OCP的面积，并在直线AC上找一点Q，使得△PHQ的面积等于△OCP的面积的$\frac{3}{4}$，求出Q点坐标；
    （3）M点是直线AC与y轴的交点，问：在直线AC上是否存在一点N，使得以M、H、N为顶点的三角形为等腰三角形？若有，请求出所有点N的坐标，若没有，请说明理由．

    分析 （1）作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，由条件可以得出△OEC≌△AFB，得出OE=AF，由A（8，0），B（6，6）可以得出0A=8，OF=6，BF=6，进而就可以求出C点的坐标，再利用待定系数法就可以求出AC的解析式；
    （2）x=4可以求出P点坐标，利用S△OPC=S△OAC-S△OAP可求得△OCP的面积，由Q点在AC上，设出Q的坐标，可以表示出△PHQ和△AOC的面积，由题意的面积关系建立等量关系就可以求得点Q的坐标；
    （3）由直线AC解析式可求得M点坐标，设出点N的坐标，可分别表示出MN、HN和MH的长，再利用等腰三角形的性质可得到关于N点坐标的方程，可求得N点坐标．

    解答 解：
    （1）如图1，作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，

    ∴∠CEO=∠BFA=90°，
    ∴CE∥BF，且OA∥BC，
    ∴四边形ECBF是平行四边形，
    ∴CE=BF，
    在Rt△OEC和Rt△AFB中
    $\left\{\begin{array}{l}{OC=AB}\\{CE=BF}\end{array}\right.$
    ∴Rt△OEC≌Rt△AFB（HL），
    ∴OE=AF，
    ∵A（8，0），B（6，6），
    ∴0A=8，OF=6，BF=6，
    ∴OE=2
    ∴C（2，6），
    设直线AC解析式为：y=kx+b（k≠0），
    ∵直线AC过点A（8，0），C（2，6），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
    ∴直线AC解析式为y=-x+8；
    （2）将x=4代入上述解析式，y=4，即PH=4，
    ∴S△OPC=S△OAC-S△OAP=$\frac{1}{2}$OA•OC-$\frac{1}{2}$OA•PH=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$×6×4=12，
    ∵Q点在直线AC上，设Q点坐标为（t，-t+8），
    ∴Q到PH的距离=|-t+8-4|=|t-4|，
    ∵S△PHQ=$\frac{3}{4}$S△OPC，
    ∴$\frac{1}{2}$|t-4|×4=$\frac{3}{4}$×12，解得t=8.5或t=-0.5，
    ∴Q点坐标为（8.5，-0.5）或（-0.5，8.5）；
    （3）∵直线AC解析式为y=-x+8，
    ∴M（0，8），
    ∵点N在直线AC上，
    ∴可设点N坐标为（m，-m+8），
    ∵H（4，0），
    ∴MH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+8-8）^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|，HN=$\sqrt{（m-4）^{2}+（-m+8）^{2}}$=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，
    ∵△MHN为等腰三角形，
    ∴有MH=MN、MH=HN或MN=HN三种情况，
    ①当MH=MN时，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$|m|，解得m=±2$\sqrt{10}$，此时N点坐标为（2$\sqrt{10}$，-2$\sqrt{10}$+8）或（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$+8），
    ②当MH=HN时，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，解得m=0（M、N重合，舍去）或m=12，此时N点坐标为（12，-4），
    ③当MN=HN时，即$\sqrt{2}$|m|=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，解得m=$\frac{10}{3}$，此时N点坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{14}{3}$），
    综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2$\sqrt{10}$，-2$\sqrt{10}$+8）或（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$+8）或（12，-4）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{14}{3}$）．

    点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中求得点P的坐标是解题的关键，在（3）中用N点的坐标分别表示出MN、HN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

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