Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2

3

，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是

6

2

时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a=

5

4

，b=-

1

2

，c=-

3 5

5

时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于O是AB的中点，则OA=OB=

3

；可设出点B的横坐标，结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标；
（2）①已知了抛物线的解析式，即可得到抛物线的对称轴方程，也就得到了C点的横坐标；此时发现C点横坐标为正数，所以分两种情况讨论：
一、点C在第一象限；在Rt△OBC中，根据OB的长及∠B的度数，可求出OC的长，参照（1）的方法即可求出C点的坐标；若分别过A、C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标，A、B关于原点对称，即可得到B点的坐标；将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
二、点D在第四象限；方法同一；
②若b=-2am，则函数的解析式为：y=ax²-2amx+c=a（x-m）²-am²+c；由此可得C点的横坐标为m；在△ABC旋转的过程中，C点横坐标的取值范围在区间[-1，1]之间，由于当m=-1或1时，C点在x轴上，A、B同时处在y轴，所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点．

解答：解：（1）∵点O是AB的中点，
∴OB=

1

2

AB=

3

；（1分）
设点B的横坐标是x（x＞0），
则x²+（

6

2

）²=（

3

）²，（1分）
解得x₁=

6

2

，x₂=-

6

2

（舍去）；
∵点B在第一象限，
∴点B的横坐标是

6

2

；（2分）

（2）①当a=

5

4

，b=-

1

2

，c=-

3 5

5

时，得y=

5

4

x2-

1

2

x-

3 5

5

（*）
y=

5

4

(x-

5

5

)2-

13 5

20

；（1分）
以下分两种情况讨论；
情况1：设点C在第一象限（如图），
则点C的横坐标为

5

5

，OC=OB×tan30°=

3

×

3

3

=1；（1分）
由此，可求得点C的坐标为（

5

5

，

2 5

5

），
根据∠A=30°，OC⊥AB，
过C作X轴的垂线交X轴于N，过点A作垂线交X轴于点M，
则△AOM∽△CON
∴OA：OC=OM：CN=AM：ON=

3

：1，
∵NO=

5

5

，
∴AM=NO×

3

=

15

5

，
∴MO=CN×

3

=

2 15

5

，
∴点A（-

2 15

5

，

15

5

），
∵A，B两点关于原点对称，

∴点B的坐标为（

2 15

5

，-

15

5

），
将点A的横坐标代入解析式的右边，计算得

15

5

，
即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入解析式的右边，计算得-

15

5

，即等于点B的纵坐标；
∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；
情况2：设点C在第四象限（如图），则点C的坐标为（

5

5

，-

2 5

5

），
点A的坐标为（

2 15

5

，

15

5

），点B的坐标为（-

2 15

5

，-

15

5

）；
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；
②存在，m的值是1或-1．
y=a（x-m）²-am²+c，
因为这条抛物线的对称轴经过点C，
所以-1≤m≤1；
当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．
因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上．

点评：此题是二次函数的综合题型，主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、图形的旋转变换等知识．