Question

【题目】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）不成立，AF= DE+EF．

【解析】

试题分析：（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE=BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF=CF，也就能证得本题的结论了；

（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；

（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

（1）证明：连接BF（如图①），

∵△ABC≌△DBE（已知），

∴BC=BE，AC=DE．

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴∠BCF=∠BEF=90°．

∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE．

∴CF=EF．

又∵AF+CF=AC，

∴AF+EF=DE．

（2）解：画出正确图形如图②

∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；

（3）不成立．

证明：连接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴△BCF和△BEF是直角三角形，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴△BCF≌△BEF（HL），

∴CF=EF；

∵△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，

∴AF=AC+FC=DE+EF．