【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,点G在直径DF的延长线上,∠D=∠G=30°
(1)求证:=
.
(2)若CD=6,求GF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)GF= 2.
【解析】
试题分析:(1)只要证明∠COF=∠COV=60°即可.
(2)首先证明GF=CF,再在RT△CFD中利用勾股定理即可解决.
解:(1)如图,连接OC、CF.
∵AB是直径,AB⊥CD,
∴BC弧=BD弧,∠OED=90°,
∴∠BOD=∠COB,
∵∠D=30°,
∴∠DOE=∠AOF=∠BOC=60°,
∴∠COF=60°,
∴∠COF=∠COB=60°,
∴=
.
(2)∵OC=OF,∠COF=60°
∴△COF是等边三角形,
∴∠OFC=60°,
∵∠G=30°,∠OFC=∠G+∠FCG,
∴∠FCG=30°,
∴∠G=∠FCG,
∴GF=CF,
∵DF是直径,
∴∠FCD=90°,
∵∠D=30°,CD=6,DF=2CF,设CF=a,则DF=2a
∴a2+36=4a2,
∵a>0,
∴a=2,
∴GF=CF=2.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC= 度.
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【题目】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
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【题目】某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是( )
劳动时间(小时) | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 |
A.中位数是4,平均数是3.75
B.众数是4,平均数是3.8
C.众数是2,平均数是3.75
D.众数是2,平均数是3.8
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【题目】△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2.
(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果)
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【题目】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABO≌△DCO;
(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.
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