Question

如图，点A在x轴上，OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形的面积是9？若存在，求出过点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据旋转的性质，可得OB=OA=6，∠BOC=120°，根据直角三角形的性质，可得BC，OC的长；

（2）根据抛物线与x轴的交点坐标，可得抛物线的解析式，根据待定系数法，可得答案；

（3）根据三角形的面积，可得P到BC的距离为3，根据平行线间的距离相等，可得平行OB且到OB的距离等于3的两条直线，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

【解答】解：（1）如图1：

由OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置，得

OB=OA=6，∠BOC=120°．

∠BOC=120°﹣90°=30°

∴BC=OB=3，

OC=3，

∴B（﹣3，﹣3）

（2）因为抛物线与x轴交于O、A（6，0），

设抛物线的解析式为y=ax（x﹣6），把点B（﹣3，﹣3）代入得﹣3a（﹣3﹣6）=﹣3，

解得：a=﹣．

所以抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣6）=﹣x²+x．

（3）答：符合条件的点P存在

设直线OB的解析式为：y=kx，

把点了B（﹣3，﹣3）代入解得：k=

∴直线OB的解析式为：y=x，

∵S_△BOP=9，

∴点P到OB的距离是：（9×2）÷6=3

如图2：

设点E到OB的距离EF=3，

∵∠BOE=30°，

∴OE=2EF=6

∴到直线OB的距离为3的直线解析式分别是：y=x﹣6 或y=x+6

抛物线的对称轴是直线x=×6=3，

∴把x=3分别代入y=x﹣6、y=x+6得y ₁=3﹣6，y ₂=3+6，

即符合条件的点P的坐标是：P₁（3，3﹣6），P₂（3，3+6）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了旋转的性质，直角三角形的性质；（2）利用待定系数法求函数解析式，关键是设出与X轴交点的解析式；（3）利用平行线间的距离相等得出平行OB且到OB的距离等于3的两条直线是解题关键．