Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，1）、（-1，0）、（1，0）、（-1，-1）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A₁B₁C₁与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大后的△A₁B₁C₁；（所画△A₁B₁C₁与△ABC在点P同侧）；
（3）经过A₁、B₁、C₁三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出相应函数解析式，把点A坐标代入求解即可；
（2）连接PA并延长，使PA₁=3PA，同法得到其余各点，顺次连接即可；
（3）得到过三点的函数解析式，看二次项系数是否相等，相等即可通过平移得到．

解答：解：（1）设经过A、B、C三点的抛物线的表达式y=a（x-1）（x+1），
∵经过（0，1），
∴1=a（-1）×1，
∴a=-1；
∴y=-1×（x-1）（x+1）=-x²+1；

（2）如图所示：

（3）设经过A₁、B₁、C₁三点的抛物线为y=a（x-2）²+5，
把（5，2）代入可得a=-

1

3

．
∴y=-

1

3

（x-2）²+5．
∵和（1）得到的二次项系数不同，
∴不能通过平移得到．

点评：若有抛物线的顶点或与x轴的交点，求函数解析式用交点式和顶点式比较简便；对应顶点到位似中心的距离等于相似比；两条抛物线可通过平移得到，这两条抛物线的二次项系数相等．