在一个三角形中.如果一个角是另一个角的2倍.我们称这种三角形为倍角三角形．如图1.倍角△ABC中.∠A=2∠B.∠A.∠B.∠C的对边分别记为a.b.c.倍角三角形的三边a.b.c有什么关系呢?让我们一起来探索．(1)我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空: 三角形角的已知量 $\frac{a}{b}$ $\frac{b+c}{a}$ 图2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．
如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．

（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究，请你结合图形填空：

三角形	角的已知量	$\frac{a}{b}$	$\frac{b+c}{a}$
图2	∠A=2∠B=90°	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
图3	∠A=2∠B=60°	$\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$

（2）如图1，对于一般的倍角△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，若∠A=2∠B，那么a，b，c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并加以证明；
（3）若一等腰△ABC恰好是一个倍角三角形，且有一边长为6，请直接写出所有符合条件的△ABC的周长．

分析（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b=$\sqrt{2}$，即可求得的值，图3的解法同上．
（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是$\frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}$，可通过构造相似三角形来证明；延长CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．
（3）分两种情况根据（2）的结论直接计算即可．

解答解：（1）如图2
∵∠A=2∠B=90°，
∴∠B=45°，
∴∠C=45°，
∴a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∴$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，$\frac{b+c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，
如图3，∵∠A=2∠B=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴$\frac{a}{b}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{\frac{1}{2}c}$=$\sqrt{3}$，$\frac{b+c}{a}=\frac{\frac{1}{2}c+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}c}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，
（2）猜测：$\frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}$，
理由：如图1，

延长CA至D，使AD=AB，
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}$，
（3）∵△ABC是等腰三角形，不妨设∠A是顶角，则∠B=∠C是底角，
∵△ABC恰为一个倍角三角形，
∴∠A=2∠B或∠B=2∠A，
①当∠A=2∠B时，
∴∠A=90°，∠B=∠C=45°，
Ⅰ、当AB=6时，则AC=AB=6，BC=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长为12+6$\sqrt{2}$，
Ⅱ、当CB=6时，则AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长为6+6$\sqrt{2}$，
②当∠B=2∠A时，根据三角形的内角和得，∠A=36°，∠B=∠C=72°，
Ⅰ、当AB=6时，则AB=AC=6，
∴由（2）知，BC=-3+3$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周长为9+3$\sqrt{5}$，
Ⅱ、当BC=6时，
∴由（2）知，AB=AC=3+3$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周长为12+6$\sqrt{5}$，
即：△ABC的周长为12+6$\sqrt{2}$，6+6$\sqrt{2}$，9+3$\sqrt{5}$，12+6$\sqrt{5}$．

点评此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质得出（2）的结论是解本题的关键，要注意的是（3）题的情况较多，一定要分类讨论，不要漏解．

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