如图.在直角三角形ABC中.直角边AC=3cm.BC=4cm．设P.Q分别为AB.BC上的动点.在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时.点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动.它们移动的速度均为每秒1cm.当Q点到达C点时.P点就停止移动．设P.Q移动的时间t秒．(1)写出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式.并写出t的取值范围．(2)当t为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm，BC=4cm．设P、Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P、Q移动的时间t秒．
（1）写出△PBQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围．
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（3）△PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．

分析（1）过点P作PH⊥BC，垂足为H，从而得到△BPH∽△ABC，根据相似比例求出PH的长，可以得到用t表示面积的函数解析式；
（2）分三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分别求t的值；
（3）分△PBQ∽△ABC与△PBQ∽△CBA两种情况进行讨论即可．

解答（1）解：∵Rt△ABC中直角边AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴BP=5-t，BQ=t．
如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，
∵AC⊥BC，
∴△BPH∽△ABC，
∴$\frac{AC}{PH}=\frac{AB}{PH}$，
即$\frac{3}{PH}=\frac{5}{5-t}$，解得PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$BQ•PH=$\frac{1}{2}$t•（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t（0＜t≤4）；

（2）解：①当BP=BQ时，5-t=t，解得t=$\frac{5}{2}$秒；
②如图2，当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
∵BQ=PQ，QE⊥BD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$（5-t），
∵∠B=∠B，∠ACB=∠QEB=90°，
∴△BQE∽△BAC，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{BE}{BC}$，即 $\frac{t}{5}=\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4}$，解得t=$\frac{25}{13}$秒；
③如图3，当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
∵BP=PQ，PF⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$t．
∵∠B=∠B，∠PFB=∠C=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{5-t}{5}=\frac{\frac{1}{2}t}{4}$，解得t=$\frac{40}{13}$ 秒．
∴当t=$\frac{5}{2}$秒，t=$\frac{25}{13}$秒，t=$\frac{40}{13}$秒时，均使△PBQ为等腰三角形；

（3）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{AB}$，即 $\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$，解得t=$\frac{20}{9}$（秒）；
当△PBQ∽△CBA时，$\frac{BQ}{AB}=\frac{BP}{BC}$，即 $\frac{t}{5}=\frac{5-t}{4}$，解得t=$\frac{25}{9}$（秒）．

点评此题的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，此类问题是近几年中考中较常见的题目，在解答时要注意进行分类讨论，不要漏解．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

11．已知△ABC的三点坐标：分别为A（-2，1）、B（2，1）、C（3，-2）．
（1）△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁的三顶点坐标分别为A₁（-2，-1）、B₁（2，-1）、C₁（3，2）
（2）△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂的三顶点坐标分别为A₂（2，1）、B₂（-2，1）、C₂（-3，-2）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源：2016-2017学年浙江省七年级3月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

解下列的二元一次方程组

（1）（2）（3）（4）