Question

8．如图，两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t秒．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．当t=9时，DF的长度有最小值，最小值等于3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

解答 解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠DCF=∠BCE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；
如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=$\sqrt{3}$，
∴设AE′=x，则BE′=$\sqrt{3}$x，
∴AB=2x=6，
则AE′=x=3
∴DE′=6+3，DF=BE′=3$\sqrt{3}$，
故答案为：9，3$\sqrt{3}$；

点评 此题是旋转的性质，主要考查等边三角形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键．