Question

如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；

（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0得x₁=﹣2，x₂=4，

∴点A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴点C（0，﹣）

（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣

∴点M的坐标为（1，﹣）

∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5，）

设直线M′B的解析式为y=kx+b

将点M′、B的坐标代入得：

解得：

所以直线M′B的解析式为y=．

将x=﹣2代入得：y=﹣

所以n=﹣．

（3）过点D作DE⊥BA，垂足为E．

由勾股定理得：

AD==3，

BD=，

如下图，①当P₁AB∽△ADB时，

即：

∴P₁B=6

过点P₁作P₁M₁⊥AB，垂足为M₁．

∴即：

解得：P₁M₁=6，

∵即：

解得：BM₁=12

∴点P₁的坐标为（﹣8，6）

∵点P₁不在抛物线上，所以此种情况不存在；

②当△P₂AB∽△BDA时，即：

∴P₂B=6

过点P₂作P₂M₂⊥AB，垂足为M₂．

∴，即：

∴P₂M₂=2

∵，即：

∴M₂B=8

∴点P₂的坐标为（﹣4，2）

将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2，

∴点P₂在抛物线上．

由抛物线的对称性可知：点P₂与点P₄关于直线x=1对称，

∴P₄的坐标为（6，2），

当点P₃位于点C处时，两三角形全等，所以点P₃的坐标为（0，﹣），

综上所述点P的坐标为：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．