Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（ ）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG，

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正确，

同法可证：△AGB≌△CGB，

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正确，

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，

又∵∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确

取AB的中点O，连接OD、OH，

∵正方形的边长为4，

∴AO=OH= ×4=2，

由勾股定理得，OD= =2 ，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH最小=2 ﹣2．

无法证明DH平分∠EHG，故②错误，

故①③④⑤正确，

所以答案是：C．

【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．