Question

18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据旋转的性质得BF=DC、∠FBA=∠C、∠BAF=∠CAD，由∠ABC+∠C=90°知∠ABC+∠FBA=90°，即可判断①；
②由∠BAC=90°、∠DAE=45°知∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，继而可得∠EAF=∠EAD，可判断②；
③由BF=DC、EF=DE，根据BE+BF＞EF可判断③；
④根据BE²+BF²=EF²可判断④．

解答 解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴BF=DC，∠FBA=∠C，∠BAF=∠CAD，
又∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠FBA=90°，即∠FBC=90°，
∴BF⊥BC，故①正确；

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAD，
在△AED和△AEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠EAF=∠EAD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEF，故②正确；

∵BF=DC，
∴BE+DC=BE+BF，
∵△AED≌△AEF，
∴EF=DE，
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，故③错误，


∵∠FBC=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC、EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，正确；
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．